lunes, 22 de julio de 2019

Srinivasa Ramanujan o cómo calcular 2000 millones de cifras decimales de π



La mayoría de los que estéis comenzando a leer esto seguro que lo conocéis, pero por si hay algún despistado redirigido de algún otro lugar del planeta web debo comenzar con la pregunta 

¿Qué es π?

Pues es una RAZÓN (la división de dos cantidades) entre la longitud de una circunferencia y la longitud de su diámetro, ¿parece fácil de calcular verdad?... 
Si por ejemplo divido la edad de mi hija (15 años) entre mi edad (45 años) resulta que la razón da 1/3 (es un número, no tiene unidades), se suele decir en matemáticas que la edad de Andrea está en razón 1 a 3 con la mía, o de forma más sencilla, que tiene la tercera parte de mi edad o yo el triple.

Pues para hacer lo mismo con nuestro amigo π, mido el contorno de una lata (por ejemplo) con una cinta métrica de sastre para que se adapte bien, mido después su diámetro y tacháááán... debería salir nuestro famoso número (Por cierto, es una actividad que realizo en el aula con resultados bastante buenos en cuanto a exactitud)

¿Por qué se le llamó π?

Pues aunque en algunos lugares aparece referencia a las palabras Periferia y Perímetro donde la inicial es la letra PI escritas en griego, no fueron los habitantes de Grecia los primeros en usarla sino que fue William Oughtred (1574-1660), quizá cansado de llamarle "razón entre la longitud y el diámetro de una circunferencia" le buscó nombre corto y mas tarde fue propuesto el uso generalizado por William Jones (1675-1749), aunque fue Leonhard Euler quien lo popularizó en 1748 con su obra "Introducción al Cálculo Infinitesimal"

¿Cuánto vale π?

La aproximación que yo recuerdo es 3,1415926535897932384626 que por cierto es mejor que la que aparece en la Wikipedia, jeje (si llegáis hasta el final os enseñaré el truco que yo empleé cuando era adolescente y el libro de donde lo saqué)

SI nos remontamos al antiguo Egipto encontraremos una aproximación en el papiro de Rhind (sobre el 1800 a.C. si, si, has leído bien, ya se empleaba) de 256/81 , en Mesopotamia se trabajó con 3,125 que tampoco está demasiado mal y en la Biblia  (600 a.C.) aparecen frases donde comparan figuras circulares aunque se quedan lejos del valor exacto de nuestro trascendente número tomando 3 como operador. Podemos añadir a Ptolomeo también en estos menesteres tomando la fracción 377/120 como aproximación pero en esa época hay que destacar con mucha diferencia el trabajo de Arquímedes de Siracusa  (del que hablaremos algo mas luego) que en el 250 a.C. acotó π entre dos fracciones 223/71 < π < 22/7

Pero a lo largo de la historia, dependiendo principalmente de los medios tecnológicos usados se han ido añadiendo cifras decimales exactas y podemos encontrar referencias de todas ellas en el siguiente enlace de la Wikipedia, donde además nos cuentan: el ordenador utilizado, el número de cifras conseguidas, el error cometido en las primeras aproximaciones...


¿Pero necesitamos tantas cifras?

Bastarían 39 cifras decimales de π (39 es mi número del Colegio, qué suerte) para calcular con un error menor que el radio de un átomo de HIdrógeno el perímetro de una circunferencia capaz de abarcar la totalidad del universo conocido. Para ti y para mí no creo que sean necesarias más de cuatro, pero si puedes no aproximes, da el valor exacto, en función de π (por ejemplo, si nos piden la longitud de una circunferencia de radio 5, podemos escribir que es l = 2·π·r = 2·π·5 = 10π unidades y quedamos como auténticos cracks de las Mates) 

¿Y por qué siguen calculando cifras?

Tres motivos fundamentales responden a esta cuestión:
  • Servir de banco de pruebas computacional para medir el refinamiento y fiabilidad de los ordenadores empleados (En el 2019 se trabajó con Google Cloud cruncher para conseguir 31 billones de cifras decimales y así lucir toda la maquinaria del gigante Google)
  • Aunque suene raro, todavía quedan y aparecen en el estudio de π reductos "desconcertantes" en la teoría de números donde se sigue avanzando
  • Y la parte romántica podría servir también de excusa diciendo que es parte de la cultura matemáticas seguir indagando hasta donde nos lleve
¿Cómo calculan esas cifras?
Una de las aproximaciones más conocidas y que ya hemos nombrado es la de Arquímedes, conseguida gracias a inscribir y circunscribir polígonos regulares en una circunferencia de diámetro unidad.
Como medir una curva le resultaba complicado, se le ocurrió meter dentro de la misma un polígono regular cuyo perímetro sería inferior a la longitud de la curva y hacer lo mismo por fuera de ella, en ese caso el perímetro del circunscrito sería superior al de la circunferencia. 
Al tomar de diámetro la unidad los valores de los polígonos de "fuera" y "dentro" se irían acercando a lo que conocemos hoy como longitud de la circunferencia expresado en fórmula que viene a ser l = 2·π·r = Diámetro ·π = 1·π = π (EUREKA, justo lo que el de Siracusa iba buscando)
Consiguió sus resultados con polígonos de 96 lados pero es un algoritmo que converge muy lentamente al valor exacto de nuestra constante.


Os dejo aquí otro enlace donde hacer probatinas con diferentes polígonos y comprobar los valores que se van obteniendo según los lados, de la Red Educativa Digital Descartes 

Con 96 lados, yo que llevo gafas debo ampliar a imagen para distinguir los dos polígonos que empleó Descartes, pero pese a estar "cerca" del círculo, la aproximación no es todo lo buena que pudiera parecer en un principio:


¿Y qué pinta Ramanujan en todo esto?

A pesar de la escasa educación formal que recibió, Ramanujan encontró basándose en su investigación de funciones modulares (una función λ(q) que puede relacionarse mediante una expresión algebraica llamada ecuación modular , con la misma función expresada mediante la misma variable q elevada a una potencia entera λ(q^p) donde p nos indicará el "orden" de la ecuación modular) ‚ expresiones exactas del número π y dedujo para ellas valores aproximados.

Antes de él, hubo varios intentos usando productos infinitos como Jhon Wallis en 1665:
O James Gregory en 1671 con una suma:
En los dos casos muy lentas a la hora de conseguir decimales y mas si la comparamos con la fórmula empleada por Jhon Machin en 1706 con la que se obtuvieron un total de 100 decimales de nuestro objetivo:
Donde eso sí, había que utilizar desarrollos en serie de Taylor para conseguir los arcotangentes, hasta la llegada de Srinivasa Ramanujan, que en 1914 con una fórmula ELEGANTE a pesar de los números pero con una convergencia que desbordaba 8 dígitos exactos más por cada término nuevo que era sumado, aquí tuvieron que rendirse todos los que lo estuvieran intentando en ese momento:
Tuvieron que pasar 73 años hasta que en 1987 los hermanos Jonathan M. Borwein y Peter B. Borwein obtuvieran una mejora muy considerable aunque no de la forma tan "mágica" como nos mostró Srinivasa, en cuanto intentéis leer la fórmula lo tendréis claro... 


Aunque teniendo en cuenta que esta vez se consiguen 25 cifras exactas cada vez añadimos un término a nuestra suma, la verdad es que la convergencia es muy superior y podemos dejar a un lado su "fealdad"

¿Y si quiero calcular 2000 millones de dígitos?

Aquí os dejo las instrucciones de los cálculos, dados unos valores iniciales parece fácil ir acumulándolos en la pantalla e ir realizando unas operaciones "elementales"... el problema vendrá por el tamaño de las cantidades con las que se trabaja en este algoritmo que vendrán algo justas para encajar en nuestro dispositivo digital...


Y ahora que estamos llegando ya al final: ¿Cómo me aprendí yo más cifras que las que aparecen en la Wikipedia? 

Me regalaron un libro que tiene por título SUPERMEMORIA donde se pueden leer varias reglas nemotécnicas para diferentes actividades, como memorizar fechas, aprender el albafeto Braille, ... pues en una de sus páginas venían varias frases para aprender unas cuantas cifras decimales de π, de las que yo me aprendí dos y todavía las recuerdo :

"Fue a casa y buscó caramelos de fresca menta muy malos"

"Inmortal ingeniero, artista inventivo que en sus pinturas tuvo mérito en exceso"

Son algo raras pero no muy difíciles de memorizar (de hecho yo no soy muy bueno en ello y todavía las conservo en el cerebro) y si sustituyes cada palabra por el número de letras que contiene... MARAVILLA DE LAS MATEMÁTICAS... obtienes una buenísima aproximación del número PI (no te quedes sin comprobarlo, hay que demostrarlo todo siempre que se pueda)

Pues hasta aquí mi aporte a ese maravilloso número del que millones de personas han oido hablar y que espero que os haya servido para conocerlo un poquito mas de cerca.

Publicado el 22 de julio (22/7) en el que se celebra el día de la aproximación Arquimediana de π (pi) 

Un saludooooo 😊👍


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